对于某些计算，我需要进行特征值分解。现在我尝试评估 numpy 的功能并注意到有一个非常糟糕的行为!看看这个:
import numpy as np
N = 3
A = np.matrix(np.random.random([N,N]))
A = 0.5*(A.H + A) #Hermetian part
la, V = np.linalg.eig(A)
VI = np.matrix(np.linalg.inv(V))
V = np.matrix(V)
/edit:我现在选择的是hermetian Matrix，所以很正常。
数学表明我们应该有 VI * VH = 1，并且 VH * A * V = VI * A * V = D，其中 D 是特征值的对角矩阵。我从随机矩阵得到的结果是:
print(A.H*A - A*A.H)
[[ 0. 0. 0.]
[ 0. 0. 0.]
[ 0. 0. 0.]]
这表明A是正常的。
print(V.H*A*V)
[[ 1.71513832e+00 5.55111512e-17 -1.11022302e-16]
[ -1.11022302e-16 -5.17694280e-01 0.00000000e+00]
[ -7.63278329e-17 -4.51028104e-17 1.28559996e-01]]
print(VI*A*V)
[[ 1.71513832e+00 -2.77555756e-16 -2.22044605e-16]
[ 7.49400542e-16 -5.17694280e-01 -4.16333634e-17]
[ -3.33066907e-16 1.70002901e-16 1.28559996e-01]]
这两个工作是正确的，因为非对角线非常小并且在对角线上我们有特征值。
print(VI*V.H)
[[ 0.50868822 -0.57398479 0.64169912]
[ 0.16362266 0.79620605 0.58248052]
[-0.84525968 -0.19130446 0.49893755]]
这应该是一个，但离它很远。
所以，现在告诉我，即使在这个小例子中，在制作特征向量的过程中出了什么问题？谁能告诉我在使用这个功能时我什么时候需要注意，以及我能做些什么来防止这种严重的不匹配？
请您参考如下方法:
引自 numpy.linalg.eig documentation :
Likewise, the (complex-valued) matrix of eigenvectors v is unitary if the matrix a is normal, i.e., if dot(a, a.H) = dot(a.H, a), where a.H denotes the conjugate transpose of a.
显然，在您的示例中，A^H A != A A^H，因此矩阵 V 不是酉矩阵。 因此，V.T.conj() 与 V 的逆函数无关。 此假设正确的最常见情况是厄密矩阵。
